在数据处理的世界里,我们常常会遇到这样的问题:数据量太大,存储和传输成本高昂,但又不能丢失重要信息。
这时候,压缩感知(Compressive Sensing
,CS
)就像一位神奇的“数据魔法师”,能够帮助我们高效地处理数据。
本文我们就来深入了解一下压缩感知是什么,它的原理和作用,以及如何用代码实现它。
压缩感知是一种新兴的信号处理技术,它打破了传统信号处理中“先采样再压缩”的模式。
在传统的信号处理中,我们通常需要按照奈奎斯特采样定理(Nyquist Sampling Theorem
)来采集信号,即采样频率至少是信号最高频率的两倍。
这样做的结果就是会产生大量的数据,其中很多数据可能是冗余的。
而压缩感知的核心思想是:信号在某些域(如小波域)中往往是稀疏的,也就是说大部分的系数是零或者接近零的。
我们可以利用这种稀疏性,在采样的同时进行压缩,直接获取信号的少量关键信息,然后通过特定的算法重建出原始信号。
压缩感知的实现原理主要基于下面三个方面:
信号的稀疏性是压缩感知的基础。
假设我们有一个信号(x) ,它在某个变换域(如小波变换、傅里叶变换等)中表示为 (theta x) ,
其中(theta) 是变换矩阵。如果$ theta x$ 中大部分元素是零或者接近零,那么我们称信号$ x$ 在该域是稀疏的。
例如,一个音频信号在小波域中可能只有少数几个小波系数是显著的,其他大部分系数都是零。
为了获取信号的关键信息,我们需要设计一个测量矩阵$ Phi$ 。
这个矩阵的作用是将原始信号$ x $ 投影到一个低维空间,得到测量值$ y $ 。
测量值的数量$ m $ 通常远小于原始信号的维度$ n $ ,即$ mll n $ 。
测量过程可以用公式表示为:$ y=Phi x $
其中,$ y $ 是测量值,$ Phi $ 是测量矩阵,$ x $ 是原始信号。
有了测量值$ y $ 测量矩阵$ Phi $ ,我们还需要通过某种算法重建出原始信号$ x $ 。
由于$ mll n $ ,这是一个欠定方程组,有无数个解。
但因为信号是稀疏的,我们可以通过求解以下优化问题来找到最稀疏的解:
$ min|x|_1quadtext{subject to}quad y=Phi x $
这里,$ |x|_1 $ 表示$ x $ 的$ L_1 $ 范数,即$ x $ 中所有元素绝对值的和。
通过最小化$ L_1 $ 范数,我们可以找到最稀疏的解。
压缩感知的主要作用是高效地采集和重建信号,它在许多领域都有广泛的应用,例如:
MRI
)中,压缩感知可以减少扫描时间,提高成像效率。压缩感知与传统采样的对比如下表:
指标 | 传统采样 | 压缩感知 |
---|---|---|
采样率需求 | 高 | 极低 |
硬件成本 | 高 | 低 |
重建复杂度 | 低 | 高 |
适用场景 | 常规信号 | 稀疏信号 |
接下来,我们用scikit-learn
库来实现一个简单的压缩感知示例。
我们首先生成一个稀疏信号,通过测量矩阵获取测量值,然后用Lasso
回归(一种基于$ L_1 $范数的优化算法)来重建信号。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import Lasso
# 1. 生成稀疏信号
n = 100 # 信号长度
k = 10 # 稀疏度
x_true = np.zeros(n)
x_true[:k] = np.random.randn(k) # 前 k 个元素是随机值,其余为零
np.random.shuffle(x_true) # 打乱顺序
# 2. 生成测量矩阵
m = 30 # 测量值数量
Phi = np.random.randn(m, n) / np.sqrt(m) # 随机高斯矩阵
# 3. 获取测量值
y = Phi @ x_true
# 4. 使用 Lasso 回归重建信号
lasso = Lasso(alpha=0.01, max_iter=10000)
lasso.fit(Phi, y)
x_reconstructed = lasso.coef_
print(len(y))
# 5. 绘制结果
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.stem(x_true, linefmt='b-', markerfmt='bo', basefmt='r-')
plt.title("原始稀疏信号")
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.stem(x_reconstructed, linefmt='r-', markerfmt='ro', basefmt='r-')
plt.title("根据压缩信息重建的信号")
plt.show()
代码中的5个步骤说明:
Lasso
回归来重建信号。Lasso
回归通过最小化$ L_1 $范数来找到最稀疏的解。运行结果如下:
注意:因为数据是随机生成的,所以你执行的结果也许和上图不一样。
压缩感知是一种强大的信号处理技术,它利用信号的稀疏性,在采样的同时进行压缩,并通过优化算法重建信号。
在实际应用中,压缩感知可以大大提高数据处理的效率,减少存储和传输成本,同时保持信号的质量。
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