微积分笔记03：多元函数的极值

3.2 多元函数存在极值的充分条件及证明过程

3.2.1 多元函数存在极值的充分条件

设存在函数(f(x,y))，该函数在点((x_0,y_0))的邻域内具有一阶偏导数，且满足：

[ begin{cases} f'_x(x_0,y_0)=0\ f'_y(x_0,y_0)=0 end{cases} ]

若函数(f(x,y))在在点((x_0,y_0))的邻域内还具有二阶偏导数：

[设：f''_{xx}(x_0,y_0)=A，f''_{xy}(x_0,y_0)=B，f''_{yy}(x_0,y_0)=C ]

则有：

[qquadqquadqquadqquadquad ①AC-B^2>0 Rightarrow f(x,y)存在极值 Rightarrow begin{cases} A0时有极小值 end{cases} ]

[②AC-B^2

[qquadqquadqquad ③AC-B^2=0 Rightarrow f(x,y) 极值存在性需进一步分析 ]

3.2.2 充分条件的证明过程

由3.2.1中的条件，存在函数(f(x,y))，且该函数在点((x_0,y_0))的邻域内具有一阶偏导数、二阶偏导数

若点((x_0,y_0))的邻域内存在一点((x_0+Delta x,y_0+Delta y))，则在(Delta x)、(Delta y)较小时可由二阶泰勒展开式得：

[qquadqquadqquad f(x_0+Delta x,y_0+Delta y) ]

[=f(x_0,y_0) ]

[qquadqquadqquad + nabla f^T(x_0,y_0) cdot begin{bmatrix} Delta x\ Delta y end{bmatrix} ]

[qquadqquadqquadqquad + begin{bmatrix} Delta x & Delta y end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} A&B\ B&C end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} Delta x \ Delta y end{bmatrix} ]

其中，由(f(x,y))在点((x_0,y_0))的邻域内存在一阶偏导数可得：

[nabla f^T(x_0,y_0) cdot begin{bmatrix} Delta x\ Delta y end{bmatrix}=0 ]

则有：

[f(x_0+Delta x,y_0+Delta y)=f(x_0,y_0) + begin{bmatrix} Delta x & Delta y end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} A&B\ B&C end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} Delta x \ Delta y end{bmatrix} ]

(若begin{bmatrix} Delta x & Delta y end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} A&B\ B&C end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} Delta x \ Delta y end{bmatrix} 为正定二次型)：

[ Rightarrow f(x_0+Delta x,y_0+Delta y) >f(x_0,y_0) ]

[tag{2} 即f(x,y)在(x_0,y_0)处取得极小值 ]

又由正定矩阵相关性质可得：

[矩阵 begin{bmatrix} A&B\ B&C end{bmatrix} 的特征值lambda_1,lambda_2>0 Rightarrow begin{vmatrix} A&B\ B&C end{vmatrix}>0 ]

[tag{3} Rightarrow begin {cases} AC-B^2>0\ A+C>0 end {cases} Rightarrow A,C>0 ]

(若begin{bmatrix} Delta x & Delta y end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} A&B\ B&C end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} Delta x \ Delta y end{bmatrix} 为负定二次型)：

[ Rightarrow f(x_0+Delta x,y_0+Delta y)

[tag{4} 即f(x,y)在(x_0,y_0)处取得极大值 ]

又由正定矩阵相关性质可得：

[矩阵 begin{bmatrix} A&B\ B&C end{bmatrix} 的特征值lambda_1,lambda_20 ]

[tag{5} Rightarrow begin {cases} AC-B^2>0\ A+C