微积分笔记01：方向导数与梯度

设三维坐标系中存在函数：

[z=f(x,y) ]

则点P的移动距离对函数(f(x,y))的影响可描述为：

[frac{alpha f}{alpha l} Big |_{(x_0,y_0)} =limlimits_{t to 0^+} frac{f(x_0+tcdot cosalpha，y_0+tcdot cosbeta)-f(x_0，y_0)}{t} ]

[=limlimits_{t to 0^+} frac { f(x_0+tcdot cosalpha，y_0+tcdot cosbeta) - f(x_0，y_0+tcdot cosbeta) + f(x_0，y_0+tcdot cosbeta) - f(x_0，y_0) } {t} ]

[=limlimits_{t to 0^+} frac { [f(x_0+tcdot cosalpha，y_0+tcdot cosbeta) - f(x_0，y_0+tcdot cosbeta)]cdot cosalpha }{t cdot cosalpha} + frac { [f(x_0，y_0+tcdot cosbeta) - f(x_0，y_0)]cdot cosbeta }{tcdot cosbeta} ]

[=f'_x(x_0,y_0)cdot cosalpha+f'_y(x_0,y_0)cdot cosbeta ]

1.1.2 方向导数相关定理

设存在函数(f(x,y))，且存在点(P(x_0,y_0))

若函数(f(x,y))在点(P(x_0,y_0))处可微分，则点(P)沿方向(l)移动时存在方向导数(frac{alpha f}{alpha l} Big |_{(x_0,y_0)})，且有：

[tag{1} frac{alpha f}{alpha l} Big |_{(x_0,y_0)}=f'_x(x_0,y_0)cdot cosalpha+f'_y(x_0,y_0)cdot cosbeta ]

1.2 梯度

1.2.1 梯度的定义

设函数(f(x,y))在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于任一点(P(x_0,y_0) in D)，存在向量：

[tag{2} f'_x(x_0,y_0)cdot i+f'_y(x_0,y_0)cdot j ]

称该向量为(f(x,y))在点(P(x_0,y_0))处的梯度，记为(gradf(x_0,y_0))，或(nabla f(x_0,y_0))

1.2.2 以梯度求方向导数

设存在单位向量(e_l=(cosalpha,cosbeta))

若函数(f(x,y))在(P(x_0,y_0))处可微分，则有：

[frac{alpha f}{alpha l} Big |_{(x_0,y_0)}=nabla f(x_0,y_0)cdot e_l=|nabla f(x_0,y_0)|cdot costheta ]

(e_l)与(l)方向相同的情况：

若(theta=0)，则(e_l)与(l)方向相同，有：

[tag{3} frac{alpha f}{alpha l} Big |_{(x_0,y_0)}=|nabla f(x_0,y_0)| ]

(e_l)与(l)正交的情况：

若(theta=frac{pi}{2})，则(e_l)与(l)正交，有：

[tag{4} frac{alpha f}{alpha l} Big |_{(x_0,y_0)}=0 ]

(e_l)与(l)方向相反的情况：

若(theta=pi)，则(e_l)与(l)方向相反，有：

[tag{5} frac{alpha f}{alpha l} Big |_{(x_0,y_0)}=-;|nabla f(x_0,y_0)| ]

1.2.3 方向导数求解示例1：求解二元函数的方向导数

设存在函数(f(x,y)=frac{1}{2}cdot (x^2+y^2))，存在点(P(1,1))

（1）求解(f(x,y))在点P处增加最快的方向：

设(f(x,y))在点P处增加最快的方向为(l)

由题意：(f'_x(x,y)=x,f'_y(x,y)=y)，且存在(theta=0)

则有：

(nabla f(1,1)=f'_x(1,1)cdot i + f'_y(1,1)cdot j=i+j)

(frac{alpha f}{alpha l}Big |_{(1,1)}=|nabla f(1,1)|cdot cos 0=sqrt 2)

(Rightarrow l=frac{nabla f(1,1)}{|nabla f(1,1)|cdot cos 0}=frac{1}{sqrt 2}cdot i+frac{1}{sqrt 2}cdot j)

(2)求解(f(x,y))在点P处减少最快的方向：

设(f(x,y))在点P处减少最快的方向为(l)

由题意：(f'_x(x,y)=x,f'_y(x,y)=y)，且存在(theta=pi)

则有：

(nabla f(1,1)=f'_x(1,1)cdot i + f'_y(1,1)cdot j=i+j)

(frac{alpha f}{alpha l}Big |_{(1,1)}=|nabla f(1,1)|cdot cos pi=-sqrt 2)

(Rightarrow l=frac{nabla f(1,1)}{|nabla f(1,1)|cdot cos pi}=(-frac{1}{sqrt 2})cdot i+(-frac{1}{sqrt 2})cdot j)

(3)求解(f(x,y))在点P处变化率为0的方向：

设(f(x,y))在点P处变化率为0的方向为(l)

由题意：(f'_x(x,y)=x,f'_y(x,y)=y)，且存在(theta=frac{pi}{2})

则有：

(nabla f(1,1)=f'_x(1,1)cdot i + f'_y(1,1)cdot j=i+j)

(frac{alpha f}{alpha l}Big |_{(1,1)}=|nabla f(1,1)|cdot cos frac{pi}{2}=0)

(Rightarrow l=(-frac{1}{sqrt 2})cdot i+frac{1}{sqrt 2}cdot j quad或quad l=frac{1}{sqrt 2}cdot i-frac{1}{sqrt 2}cdot j)