16.矩阵对角化-相似矩阵

则称(矩阵B是A的相似矩阵)，或(矩阵A与矩阵B相似)。

称(P)为(相似变换矩阵)

称(Pcdot Acdot P^{-1})为对矩阵A进行的(相似变换)。

16.1.2 相关定理：矩阵A与B相似 (Rightarrow) 矩阵A与B的特征值相同

证明过程如下：

[设存在相似变换矩阵P，则由矩阵A与B相似可得： ]

[Pcdot Acdot P^{-1}=B ]

[Rightarrow |Pcdot Acdot P^{-1}-lambda cdot E|=|B-lambda cdot E| ]

[由矩阵可逆的性质得： ]

[|Pcdot Acdot P^{-1}- lambda cdot Pcdot E cdot P^{-1}|=|B-lambda cdot E| ]

[|P cdot P^{-1} cdot (A-lambdacdot E)|=|B-lambda cdot E| ]

[由行列式相关性质得： ]

[|Pcdot P^{-1}|cdot|(A-lambdacdot E)|=|B-lambda cdot E| ]

[则有：|(A-lambdacdot E)|=|(B-lambda cdot E)| ]

[故：矩阵A与B相似 Rightarrow 矩阵A与B的特征值相同 ]

16.2 矩阵对角化

16.2.1 矩阵对角化的定义

设存在n阶矩阵A、相似变换矩阵P、n阶对角矩阵(Lambda)，若对矩阵A进行相似变换，使矩阵A与矩阵(Lambda)相似，则称矩阵A可对角化为矩阵(Lambda)，即：

[tag{2} Pcdot Acdot P^{-1}=Lambda ]

16.2.2 矩阵对角化定理1：n阶矩阵A的特征值各不相等(Rightarrow) n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量(Leftrightarrow)（n阶矩阵A能进行对角化(land)矩阵P可逆）

由特征值/特征向量的【性质6】可得：n阶矩阵A的特征值各不相等 (Rightarrow) n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量。

下面证明：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量(Leftrightarrow)（n阶矩阵A能进行对角化(land)矩阵P可逆）

[ ]

[ ]

[ ]

[设存在n阶矩阵A、相似变换矩阵P（P可逆）、n阶对角矩阵Lambda，则： ]

[A能进行对角化 Leftrightarrow Pcdot Acdot P^{-1}=Lambda ]

[有矩阵可逆的性质，得： ]

[Pcdot A=P cdot Lambda ]

[即：A cdot begin {bmatrix} p_1\ p_2\ ...\ p_n end {bmatrix} =Lambda cdot begin {bmatrix} p_1\ p_2\ ...\ p_n end {bmatrix} ]

[A cdot begin {bmatrix} p_1\ p_2\ ...\ p_n end {bmatrix} = begin{bmatrix} lambda_{11}\ & lambda_{22}\ && lambda_{33}\ &&&lambda_{44}\ &&&&...\ &&&&&lambda_{nn} end{bmatrix} cdot begin {bmatrix} p_1\ p_2\ ...\ p_n end {bmatrix} ]

[A cdot begin {bmatrix} p_1\ p_2\ ...\ p_n end {bmatrix} = begin {bmatrix} p_1\ p_2\ ...\ p_n end {bmatrix} cdot lambda_{ii}(i=1,2,3,...,n) ]

[由特征值/特征向量相关定义可得： ]

[上式中，矩阵P中的元素p_i即为矩阵A的特征向量，而lambda_{ii}即为矩阵A的特征值。 ]

[由上可得：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量Rightarrow（n阶矩阵A能进行对角化land矩阵P可逆） ]

[反之，若相似变换矩阵P可逆，则有：（n阶矩阵A能进行对角化land矩阵P可逆）Rightarrow n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量 ]

[即：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量Leftrightarrow（n阶矩阵A能进行对角化land矩阵P可逆） ]

16.2.3 矩阵对角化定理2：若对称阵A具有两个特征值(lambda_1、lambda_2),两个特征向量(p_1、p_2)，则有：(lambda_1neq lambda_2 Rightarrow p_1,p_2正交)

证明过程如下：

[由给定条件可得： ]

[begin{cases} A cdot p_1 =lambda_1 cdot p_1...①\ A cdot p_2=lambda_2 cdot p_2...② end{cases} ]

[①式中有： ]

[A cdot p_1-lambda_2 cdot p_1=lambda_1 cdot p_1-lambda_2 cdot p_1 ]

[(A-lambda_2)cdot p_1=(lambda_1 - lambda_2)cdot p_1 ]

[由特征值/特征向量性质得： ]

[(lambda_1 - lambda_2)cdot p_1=0 ]

[Leftrightarrow (lambda_1 - lambda_2)cdot p_1 cdot p_2=0 ]

[由lambda_1 neq lambda_2Rightarrow [p_1,p_2]=0Rightarrow p_1,p_2正交 ]

[同理，由②式也可得p_1,p_2正交（证明过程略） ]