15 特征值和特征向量

[A= begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} &...& a_{1n}\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &...& a_{2n}\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &...& a_{3n}\ & & ......\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn}\ end{bmatrix} ]

对于n阶矩阵(A)，若存在数(lambda)、n维非零列向量(x)，使：

[tag{1} A cdot x=lambda cdot x ]

则称数(lambda)为矩阵A的(特征值)，称(x)为A对应于(lambda)的(特征向量)

15.2 相关性质

由定义$A cdot x=lambda cdot x $可得：

[tag{2} (A-Elambda)cdot x= begin{bmatrix} a_{11}-lambda & a_{12} & a_{13} &...& a_{1n}\ a_{21} & a_{22}-lambda & a_{23} &...& a_{2n}\ a_{31} & a_{32} & a_{33}-lambda &...& a_{3n}\ & & ......\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn}-lambda\ end{bmatrix} =0 ]

由克莱姆法则可知式(2)为齐次方程，若有解，则：

[性质1qquad |A-lambda cdot E|=0 ]

由上可推出以下性质：

[begin {array}{c} 性质2&lambda_1+lambda_2+...+lambda_n=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}\\ 性质3&lambda_1cdotlambda_2cdot...cdotlambda_n=|A|\\ end {array} ]

15.3 特征值、特征向量求解示例

15.3.1 二阶矩阵的求解

设存在矩阵：

[A= begin{bmatrix} 3&-1\ -1&3 end{bmatrix} ]

A的特征值求解过程如下：

[|A-lambda cdot E|= begin{vmatrix} 3-lambda&-1\ -1&3-lambda end{vmatrix} =(3-lambda)^2-1 ]

[qquadqquadquad =8-6lambda+lambda^2 =(4-lambda)cdot(2-lambda) ]

由性质1可知：

[(4-lambda)cdot(2-lambda)=0 Rightarrow (lambda_1=4,lambda_2=2) ]

A对应(lambda_1=4)的特征向量求解过程如下：

[由： (A-lambda_1 cdot E)cdot x=0 可得： ]

[begin{bmatrix} 3-4&-1\ -1&3-4 end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} x_1\ x_2 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 0\ 0 end{bmatrix} ]

[qquadquad; Rightarrow-x_1-x_2=0 ]

[ qquad qquad qquad qquad quad x_1=-x_2 ]

则A对应(lambda_1=4)的特征向量可取值为：

[k cdot begin{bmatrix} 1\ -1 end{bmatrix} (kin R,k neq 0) ]

同理，A对应(lambda_2=2)的特征向量可取值为（过程略）：

[k cdot begin{bmatrix} 1\ 1 end{bmatrix} (kin R,k neq 0) ]

15.3.2 三阶矩阵的求解（示例1）

设存在如下矩阵：

[A= begin{bmatrix} -1&1&0\ -4&3&0\ 1&0&2 end{bmatrix} ]

A的特征值求解过程如下：

[|A-lambda cdot E|= begin{vmatrix} -1-lambda&1&0\ -4&3-lambda&0\ 1&0&2-lambda end{vmatrix}=0 ]

将上式按第3列展开，得：

[（2-lambda）cdot [(-1-lambda)cdot(3-lambda)+4]=0 ]

[(2-lambda)cdot(1-2lambda+lambda^2)=0 ]

[(2-lambda)cdot(lambda-1)^2=0 ]

解得：

[lambda_1=2，lambda_2=lambda_3=1 ]

A对应(lambda_1=2)的特征向量求解过程如下：

[A-lambda cdot E= begin{bmatrix} -3&1&0\ -4&1&0\ 1&0&0 end{bmatrix} ]

上式中，第3列为全0，故可进行(矩阵初等行变换)，尽量接近或等价于矩阵标准形：

(r_1 - r_2)：

[= begin{bmatrix} 1&0&0\ -4&1&0\ 1&0&0 end{bmatrix} ]

(r_2 + 4r_3)：

[= begin{bmatrix} 1&0&0\ 0&1&0\ 1&0&0 end{bmatrix} ]

(r_3 - r_1)：

[= begin{bmatrix} 1&0&0\ 0&1&0\ 0&0&0 end{bmatrix} ]

(由(A-lambda cdot E)cdot x=0得：)

[begin{bmatrix} 1&0&0\ 0&1&0\ 0&0&0 end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} x_1\ x_2\ x_3 end{bmatrix} =0 ]

(A-lambda cdot E第3列为全0，故按列乘以x，有x_1+x_2=0，可解得)：

[begin{bmatrix} x_1\ x_2\ x_3 end{bmatrix}= k cdot begin{bmatrix} 0\ 0\ 1 end{bmatrix} (kin R,k neq 0) ]

A对应(lambda_2=lambda_3=1)的特征向量求解过程如下：

[A-lambda cdot E= begin{bmatrix} -2&1&0\ -4&2&0\ 1&0&1 end{bmatrix} ]

根据观察，可进行(初等行变换)，尽量接近或等价于矩阵标准形：

(r_2 cdot frac{1}{2})：

[= begin{bmatrix} -2&1&0\ -2&1&0\ 1&0&1 end{bmatrix} ]

(r_2+2r_3)：

[begin{bmatrix} -2&1&0\ 0&1&2\ 1&0&1 end{bmatrix} ]

(r_1-r_2)：

[begin{bmatrix} -2&0&-2\ 0&1&2\ 1&0&1 end{bmatrix} ]

(r_1+3r_3)：

[begin{bmatrix} 1&0&1\ 0&1&2\ 1&0&1 end{bmatrix} ]

(r_3-r_1)：

[begin{bmatrix} 1&0&1\ 0&1&2\ 0&0&0 end{bmatrix} ]

(由(A-lambda cdot E)cdot x=0得：)

[begin{bmatrix} 1&0&1\ 0&1&2\ 0&0&0 end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} x_1\ x_2\ x_3 end{bmatrix} =0 ]

(A-lambda cdot E第3行为全0，故按行乘以x)：

[begin {cases} x_1+x_3=0 \ x_2+2x_3=0 \ end {cases} ]

(由第3行为全0，可设x_3=1，故可解得：)

[begin{bmatrix} x_1\ x_2\ x_3 end{bmatrix}= k cdot begin{bmatrix} -1\ -2\ 1 end{bmatrix} (kin R,k neq 0) ]

15.3.3 三阶矩阵的求解（示例2）

设存在如下矩阵：

[A= begin{bmatrix} -2&1&1\ 0&2&0\ -4&1&3 end{bmatrix} ]

A的特征值求解过程如下：

经过观察，可将(|A-lambda cdot E|)的第2行按行展开

[|A-lambda cdot E|=(2-lambda) cdot begin{vmatrix} -2-lambda&1\ -4&3-lambda end{vmatrix} ]

[=(2-lambda) cdot [(-2-lambda) cdot (3-lambda)+4] ]

[=(2-lambda) cdot (-2-lambda+lambda^2) ]

[=(2-lambda) cdot (lambda+1)(lambda-2) ]

解得：

[lambda_1=-1，lambda_2=lambda_3=2 ]

A对应(lambda_1=-1)的特征向量求解过程如下：

[(A-lambda_1 cdot E)= begin{bmatrix} -1&1&1\ 0&3&0\ -4&1&4 end{bmatrix} ]

根据观察，可对上式进行(初等行变换)，使结果接近或等价于矩阵标准形：

(r_1-r_4)：

[= begin{bmatrix} 3&0&-3\ 0&3&0\ -4&1&4 end{bmatrix} ]

(r_1cdot frac{1}{3})：

[= begin{bmatrix} 1&0&-1\ 0&3&0\ -4&1&4 end{bmatrix} ]

(r_2cdot frac{1}{3})：

[= begin{bmatrix} 1&0&-1\ 0&1&0\ -4&1&4 end{bmatrix} ]

(r_3+4r_1)：

[= begin{bmatrix} 1&0&-1\ 0&1&0\ 0&1&0 end{bmatrix} ]

(r_3-r_2)：

[= begin{bmatrix} 1&0&-1\ 0&1&0\ 0&0&0 end{bmatrix} ]

(由(A-lambda_1 cdot E)cdot x=0得)：

[begin{bmatrix} 1&0&-1\ 0&1&0\ 0&0&0 end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} x_1\ x_2\ x_3 end{bmatrix} =0 ]

((A-lambda_1 cdot E))第3行为全0，故可按行乘以(x)，有：

[begin {cases} x_1=x_3\ x_2=0 end {cases} ]

可解得：

[begin{bmatrix} x_1\ x_2\ x_3 end{bmatrix}= k cdot begin{bmatrix} 1\ 0\ 1 end{bmatrix} (kin R,k neq 0) ]