14.施密特正交化

[n维向量A=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)是V中的一个基 ]

[若：V中存在一个规范正交基E=(e_1,e_2,e_3...,e_n)，使A与E等价 ]

[则：称A可textbf{规范正交化}为E ]

14.1.2 规范正交化的过程

设：存在向量空间(V(V subset R^n))

n维向量(A=(a_1,a_2,a_3,...,a_n))是V中的一个基

n维向量(B=(b_1,b_2,b_3,...,b_n))是(V)中的一个基，(B)中元素两两正交，且(A)等价于(B)

n维向量(E=(e_1,e_2,e_3,...e_n))是n维向量(B)单位化以后得到的规范正交基

则B与A满足以下关系：

[ b_1=a_1 newline b_2=a_2-b_1 cdot frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]} newline b_3=a_3-b_1 cdot frac{[b_1,a_3]}{[b_1,b_1]}-b_2cdotfrac{[b_2,a_3]}{[b_2,b_2]} newline ]

[...... ]

[tag{1} b_n=a_n-b_1 cdot frac{[b_1,a_n]}{[b_1,b_1]}-b_2cdotfrac{[b_2,a_n]}{[b_2,b_2]}-...b_{n-1}cdotfrac{[b_{n-1},a_n]}{[b_{n-1},b_{n-1}]} ]

E与B满足以下关系：

[e_1=frac{b_1}{||b_1||} newline e_2=frac{b_2}{||b_2||} newline ]

[...... ]

[tag{2} e_n=frac{b_n}{||b_n||} ]

14.1.3规范正交化示例

设向量空间(V)中存在向量(A=(a_1,a_2,a_3))，且：

[a_1= begin{bmatrix} 1\ 2\ -1 end{bmatrix}， a_2= begin{bmatrix} -1\ 3\ 1 end{bmatrix}， a_3= begin{bmatrix} 4\ -1\ 0 end{bmatrix} ]

则对向量A进行规范正交化的过程如下：

设(V)中存在向量(B)，(B)中元素两两正交，且(B)等价于(A)，则有：

[b_1=a_1= begin{bmatrix} 1\ 2\ -1 end{bmatrix} ]

[b_2=a_2-b_1cdot frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}newline qquad = begin{bmatrix} -1\ 3\ 1 end{bmatrix}- begin{bmatrix} 1\ 2\ -1 end{bmatrix}cdot frac{4}{6} newline qquad,,, = begin{bmatrix} -frac{10}{6}\ frac{10}{6}\ frac{10}{6} end{bmatrix} = frac{5}{3}cdot begin{bmatrix} -1\ 1\ 1 end{bmatrix} ]

[b_3=a_3-b_1cdot frac{[b_1,a_3]}{[b_1,b_1]} - b_2cdot frac{[b_2,a_3]}{[b_2,b_2]}newline qquadqquadqquad,,, = begin{bmatrix} 4\ -1\ 0 end{bmatrix} - begin{bmatrix} 1\ 2\ -1 end{bmatrix}cdot frac{1}{3} - frac{5}{3}cdot begin{bmatrix} -1\ 1\ 1 end{bmatrix} cdot -frac{25}{3} cdot frac{9}{75} newline ,,,,,, = begin{bmatrix} frac{11}{3}\ -frac{5}{3}\ frac{1}{3} end{bmatrix} + frac{5}{3}cdot begin{bmatrix} -1\ 1\ 1 end{bmatrix} = 2cdot begin{bmatrix} 1\ 0\ 1 end{bmatrix} ]

向量B规范正交化为向量(E=(e_1,e_2,e_3,...e_n))，得：

[e_1=frac{b_1}{||b_1||}= a_1= begin{bmatrix} 1\ 2\ -1 end{bmatrix} cdot frac{1}{sqrt{6}} ]

[e_2=frac{b_2}{||b_2||}= frac{5}{3}cdot begin{bmatrix} -1\ 1\ 1 end{bmatrix} cdot sqrt{frac{9}{75}} = begin{bmatrix} -1\ 1\ 1 end{bmatrix} cdot sqrt{frac{1}{3}} ]

[e_3=frac{b_3}{||b_3||} = 2cdot begin{bmatrix} 1\ 0\ 1 end{bmatrix} cdot sqrt{frac{1}{8}} = begin{bmatrix} 1\ 0\ 1 end{bmatrix}cdot sqrt{frac{1}{2}} ]

14.2 正交阵

14.2.1 正交阵的定义

设存在n阶矩阵A，且A满足：

[tag{3} A^T cdot A = E ]

则称A为(正交阵)

14.2.2 正交阵与规范正交基

设空间(V(V subset R^n))上存在某正交阵的行向量(A=(a_1,a_2,a_3,...,a_n))

则有：

[A cdot A^T = begin{bmatrix} a_1{a_1}^T&a_1{a_2}^T&...&a_1{a_n}^T\ a_2{a_1}^T&a_2{a_2}^T&...&a_2{a_n}^T\ &&...\ a_n{a_1}^T&a_n{a_2}^T&...&a_n{a_n}^T end{bmatrix} = E ]

由单位矩阵性质可知：

[a_i={a_i}^T=1 （i=1,2,3,...,n）Rightarrow a_i 是单位向量 ]

[a_i={a_j}^T=0（ineq j）Rightarrow a_i与a_j正交 ]

则由规范正交基性质可知：
行向量A即为V的一个规范正交基（列向量同理，证明过程略），可得：

[tag{4} 若存在空间V(V subset R^n)，则：newline n阶正交阵的行向量或列向量可构成V上的一个规范正交基 ]

14.3 特征值和特征向量

14.3.1 定义

设存在n阶矩阵A:

[A= begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} &...& a_{1n}\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &...& a_{2n}\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &...& a_{3n}\ & & ......\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn}\ end{bmatrix} ]

对于n阶矩阵(A)，若存在数(lambda)、n维非零列向量(x)，使：

[A cdot x=lambda cdot x ]

则称数(lambda)为矩阵A的(特征值)，称(x)为A对应于(lambda)的(特征向量)

14.3.2 相关性质

由定义可得：

[tag{5} A cdot x-lambda cdot x=0 newline Rightarrow (A-Elambda)cdot x=newline begin{bmatrix} a_{11}-lambda & a_{12} & a_{13} &...& a_{1n}\ a_{21} & a_{22}-lambda & a_{23} &...& a_{2n}\ a_{31} & a_{32} & a_{33}-lambda &...& a_{3n}\ & & ......\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn}-lambda\ end{bmatrix} =0 ]

(性质1qquad)由克莱姆法则可知式(5)为齐次方程，若有解，则：

[begin{vmatrix} a_{11}-lambda & a_{12} & a_{13} &...& a_{1n}\ a_{21} & a_{22}-lambda & a_{23} &...& a_{2n}\ a_{31} & a_{32} & a_{33}-lambda &...& a_{3n}\ & & ......\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn}-lambda\ end{vmatrix}=0 ]

由上可推出以下性质：

[begin {array}{c} 性质2&lambda_1+lambda_2+...+lambda_n=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}\\ 性质3&lambda_1cdotlambda_2cdot...cdotlambda_n=|A|\\ end {array} ]

14.3.3 求解示例

设存在矩阵：

[A= begin{bmatrix} 3&-1\ -1&3 end{bmatrix} ]

（1）A的特征值求解过程如下：

[|A-lambda cdot E|= begin{vmatrix} 3-lambda&-1\ -1&3-lambda end{vmatrix}newline qquadqquad=(3-lambda)^2-1 newline qquadqquad=8-6lambda+lambda^2 newline qquadqquadqquad=(4-lambda)cdot(2-lambda) ]

由性质1可知：

[(4-lambda)cdot(2-lambda)=0 Rightarrow (lambda_1=4,lambda_2=2) ]

（2）A对应(lambda_1=4)的特征向量求解过程如下：

[由： (A-lambda_1 cdot E)cdot x=0 newline 可得： begin{bmatrix} 3-4&-1\ -1&3-4 end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} x_1\ x_2 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 0\ 0 end{bmatrix} ]

[Rightarrow-x_1-x_2=0 newline Rightarrow x_1=-x_2 ]

则A对应(lambda_1=4)的特征向量可取值为：

[k cdot begin{bmatrix} 1\ -1 end{bmatrix} (kin R,k neq 0) ]

同理，A对应(lambda_2)的特征向量可取值为（过程略）：

[k cdot begin{bmatrix} 1\ 1 end{bmatrix} (kin R,k neq 0) ]