4.矩阵的行列式-特殊矩阵的行列式求值

(|A_1|)的每行均只有1个元素，故所形成的排列方式仅有1种：(lambda_{11}lambda_{22}lambda_{33}lambda_{44}......lambda_{nn})，

(lambda_{11}lambda_{22}lambda_{33}lambda_{44}......lambda_{nn})中，列号对应的逆序数总和(t=0)

则：

[|A_1|=(-1)^tprod_{i=1}^nlambda_{ii}=(-1)^0prod_{i=1}^nlambda_{ii}=lambda_{11}cdotlambda_{22}cdotlambda_{33}cdotlambda_{44}......cdotlambda_{nn} ]

（2）设存在以下行列式(|A_2|)：

[|A_2|= begin{vmatrix} &&&&&lambda_{1n}\ &&&&lambda_{2(n-1)}\ &&&lambda_{3(n-2)}\ &&lambda_{4(n-3)}\ &...\ lambda_{n1} end{vmatrix} ]

(|A_2|)的每行均只有1个元素，故所形成的排列方式仅有1种：(lambda_{1n}lambda_{2(n-1)}lambda_{3(n-2)}lambda_{4(n-3)}......lambda_{n1})，

(lambda_{1n}lambda_{2(n-1)}lambda_{3(n-2)}lambda_{4(n-3)}......lambda_{n1})中，列号为完全逆序，故逆序数总和为：

[t=1+2+3+...+(n-3)+(n-2)+(n-1)=frac{ncdot(n-1)}{2} ]

则：

[|A_2|=(-1)^tprod_{i=1}^nlambda_{ii}=(-1)^{frac{ncdot(n-1)}{2}}cdotprod_{i=1}^nlambda_{i(n-i+1)}\=lambda_{1n}cdotlambda_{2(n-1)}cdotlambda_{3(n-2)}cdotlambda_{4(n-3)}......cdotlambda_{n1} ]

（3）设存在以下行列式(|A_3|)：

[|A_3|= begin{vmatrix} a_{11} & & && \ a_{21} & a_{22} & && \ a_{31} & a_{32} & a_{33} &&\ & & ......\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn}\ end{vmatrix} ]

(|A_3|)中：

由于第1行只有1个元素：(a_{11})，故第1行元素列号仅能形成1种排列方式，

第2行有2个元素，但仅有(a_{22})能够与第1行中的(a_{11})进行排列，

第3行有3个元素，但仅有(a_{33})能够与第1、2行中的(a_{11}、a_{22})排列，

……以此类推，第n行中仅有(a_{nn})能够与(a_{11}、a_{22}、a_{33}...)等元素进行排列。

故：

[|A_3|=prod_{i=1}^na_{ii} ]